一、单变量凸函数所蕴含的基本不等式（论文文献综述）
王璞玉[1]（2021）在《基于差分隐私的机器学习算法研究》文中研究表明随着互联网的普及和信息采集技术的提高,大量的敏感数据被收集.例如来自学校和医院的个人记录,用于欺诈检测的财务记录,来自社交媒体的在线行为以及来自癌症诊断的基因组数据等.对这些数据的整理和分析大大增加了个人隐私泄露的风险.特别地,利用现代统计机器学习方法可精准推断个人信息或预测个人行为,此类数据如果被不恰当地使用,将造成非常严重的后果.因此,研究具有隐私保护能力的机器学习算法具有重要的意义.差分隐私作为一种有数学理论支撑的隐私保护技术,适合于大数据时代对个人隐私保护的需求,能在保护隐私的前提下挖掘数据所蕴含的信息.本学位论文聚焦于基于差分隐私的机器学习算法,开展稀疏分类差分隐私学习算法研究,提出适用于不稳定稀疏问题的隐私保护算法框架;开展差分隐私随机凸优化研究,系统的分析（次）梯度α-Holder连续损失函数的隐私保护随机梯度下降（SGD）算法;开展非平衡数据的隐私保护研究,分别基于输出扰动和优化目标扰动机制提出隐私保护成对学习算法并分析其统计泛化性能;开展满足差分隐私的分布式Logistic回归模型研究,实现分布式差分隐私.具体地,本学位论文主要获得了如下研究成果:1.开展差分隐私稀疏分类学习算法研究,提出差分隐私稀疏正则化框架.基于交替方向乘子法（ADMM）,将稀疏分类问题的求解转化为对多个稳定子优化问题的求解,并通过给稳定子问题的目标函数添加指数噪声实现隐私保护.进一步,证明即使原始问题不稳定所提隐私保护稀疏算法亦满足差分隐私,并给出所提算法的隐私界估计.最后,将所提算法框架应用于lq正则化Logistic回归（0<q ≤1）.实验结果表明,所提隐私算法可以高效并且有效的分析敏感数据.2.聚焦于差分隐私随机凸优化问题,提出不光滑损失的隐私保护SGD算法,研究了所提算法的统计泛化性能.具体地,研究（次）梯度α-Holder连续损失的差分隐私SGD算法,系统的分析输出扰动隐私SGD算法以及梯度扰动隐私SGD算法.对于输出扰动算法,建立参数空间无界时的隐私及可用性保证.这是已知的首次在参数空间无界条件下对隐私算法的研究;对于梯度扰动算法,证明当梯度复杂度（算法的迭代次数）为T=O（n2-α/1+α+n）时,算法满足（∈,δ）-差分隐私且其额外测试误差可达到最优收敛率O（（?））.3.聚焦于非平衡数据的隐私保护研究,分别基于输出扰动机制和目标函数扰动机制提出差分隐私AUC-ERM算法.进一步,系统的分析了所提算法的隐私和统计泛化性能.由于AUC最大化问题的损失函数为依赖于两个数据点的成对损失,利用Rademacher averages剥离技术和U-统计量的性质将对不互相统计独立损失函数（即两对损失可能依赖于同一个数据点）的分析转化为对统计独立的损失函数的分析.此外,对于光滑但不利普希茨连续的损失函数,提出新的误差分解以分析其统计泛化能力.4.关注海量高维敏感数据的隐私保护问题,开展满足差分隐私的分布式Logistic回归模型研究.通过对分布式算法输出结果加扰动,实现分布式差分隐私.进一步,为了防止计算机信息交互过程中可能产生的隐私泄露,针对算法迭代过程加扰动的方式提出基于ADMM算法的分布式Logistic变量扰动算法,并给出算法的隐私理论界估计.模拟数据以及真实数据实验表明,所提算法可有效地处理分布式存储数据并保护其隐私.
徐珊威[2]（2020）在《高中数学最值问题的解题研究》文中认为最值问题在高中数学中占据重要地位,它既是高考数学的重点考查内容之一,又是实际生活中最优化问题的重要基础。由于相关知识综合、复杂、灵活、抽象,很多学生在解题时常找不到切入点,解题方法掌握不全面,考试时,遇题有畏难情绪。本论文旨在系统地对最值问题的主要类型进行分类,并研究各类型解题通法,从而给学生提供帮助,达到更好的学习效果。从概念课、习题课与复习课的角度提出教学设计的策略,给一线教师提供参考。本论文主要做了以下五个方面的研究:第一,通过对教师访谈、学生测试调查分析了学生在一定程度上对最值问题的掌握情况,并找出学生求解时存在的主要问题。第二,通过分析教材中最值问题的分布情况并建立起最值问题的分类依据,然后整理出与最值相关的知识（包括高等数学中运用拉格朗日乘数法求条件极值的方法）。第三,通过对近五年高考全国卷最值试题的分析,归纳总结出主要考点,试题类型与题中主要蕴含的数学思想方法。第四,由上述三方面的研究确定了最值问题的主要类型和相应解法。主要类型分为:（1）函数中的最值问题（二次函数、三角函数、高次函数、不含根号的分式型函数、含根号的函数、指数函数与对数函数、不等式恒成立问题、求参数取值范围的问题、双重最值问题、函数最值的实际应用）;（2）数列中的最值问题（求数列的最大（小）项、求等差数列前n项和nS的最值以及数列中的恒成立问题）;（3）解析几何中的最值问题（利用几何法求最值与利用代数法求最值）;（4）不等式中的最值问题（线性规划、基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）。第五,提出教学设计策略,并给出了概念课、习题课与复习课的三个教学设计。
刘奕辰,郭建华[3]（2018）在《漫谈多元函数最值问题的求解策略》文中进行了进一步梳理在高三数学复习中,多元函数的最值问题是一种常见的题型,它常常融合函数、不等式、三角函数、解析几何等知识,一般具有综合性强,思维量大,技巧性强等特点,是学习中的一个难点.在学习过程中要不断反思、归纳和总结求解策略,以此探究解题规律,揭示解题方法,形成解题技能.
石冠男[4]（2017）在《Dirac-调和方程解的性质及其相关算子的范数估计》文中指出近些年,非线性弹性理论和拟共形映射的发展促使微分形式椭圆方程的研究取得了极大的进展,已经从最初的Laplace方程扩展到了 A-调和方程。Hodge-Dirac算子的发展来源于理论物理学,它不仅在量子力学和广义相对论中有着不可替代的作用,而且为几何学和代数学的研究提供了有力的数学工具。2015年,Ding和Liu基于Hodge-Dirac算子和齐次A-调和方程,提出了齐次Dirac-调和方程及其弱解的概念,促进了 A-调和方程的进一步发展,也使得Hodge-Dirac算子有了更广泛的应用。作为A-调和方程的衍生方程,齐次Dirac-调和方程的理论研究仍处于起步阶段,其数学意义和实际作用还有待深入了解。因此,本文重点讨论了微分形式的Dirac-调和方程解的性质及其在相关算子中的理论应用,其主要研究内容为:首先,为了研究齐次Dirac-调和方程在复合算子理论中的实际作用,本文讨论了基于齐次Dirac-调和方程解的两类复合算子的有界性问题。由于Poincare不等式和Orlicz-Sobolev嵌入不等式在建立算子有界性理论中有着根本性的作用,所以本文主要利用齐次Dirac-调和方程解的基本不等式Lφ-平均域的性质,通过选取一类特殊的Young函数,证明了齐次Dirac-调和方程解的复合算子的Poincare型不等式和Orlicz-Sobolev嵌入不等式,由此得到了复合算子依Orlicz范数和Orlicz-Sobolev范数的有界性。其次,本文受Possion方程中复合算子D2G的启发引入了两类新的迭代算子DkGk和Dk+1Gk,并对该类迭代算子的高阶可积性及其依BMO范数和局部Lipschitz范数的有界性问题进行了研究。虽然Green算子及其梯度经多次复合后仍具有很好的可积性,但是由于Hodge-Dirac算子与外微分算子有关,这使得建立迭代算子高阶可积性的难度增大。为克服这一难点,本文将微分形式的Poincare-Sobolev不等式作为关键工具,通过构造与指数p和空间维数nn有关的辅助参数,建立了 1<p<n和p≥n两种情况下的迭代算子的高阶可积性。在此基础上,本文借助Lp空间的Hodge分解定理,得到了迭代次数kk取奇数和偶数时两类迭代算子最简化的表达式,该表达式为建立范数比较定理起到了决定性作用。最后,在一定基础性假设条件下,本文提出了非齐次Dirac-调和方程及其弱解的概念,并研究了该方程解的基本性质。非齐次Dirac-调和方程与齐次Dirac-调和方程的区别在于非齐次项部分,而正是这一部分使得研究变的复杂。为解决这一难点,本文根据研究的需要,对非齐次Driac-调和方程中算子A和B适当的附加了一些结构性约束条件,进而利用微分形式的Lp理论建立了非齐次Dirac-调和方程解的收敛性和解的基本不等式,包括:弱逆Holder不等式,Caccioppoli不等式和Orlicz-Sobolev嵌入不等式。与此同时,文本借助Hodge分解定理和一定的处理技巧,构造了非线性有界算子,并利用Minty-Browder定理得到了 一类具体的非齐次Dirac-调和方程解的存在唯一性定理。
刘鹏惠[5]（2001）在《单变量凸函数所蕴含的基本不等式》文中指出凸函数是以不等式为特征性质的一类函数 ,它与数学分析中一些常用不等式的建立存在有机的联系。而这些常用不等式直接证明的方法虽多 ,但都不容易。本文作者利用单变量凸函数的性质简洁地给出了这些基本不等式的统一证法
二、单变量凸函数所蕴含的基本不等式（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、单变量凸函数所蕴含的基本不等式（论文提纲范文）
（1）基于差分隐私的机器学习算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究背景及其意义 |
| §1.2 差分隐私及其变形 |
| §1.2.1 差分隐私 |
| §1.2.2 Renyi差分隐私 |
| §1.3 本文主要工作和内容安排 |
| 第二章 差分隐私稀疏分类学习 |
| §2.1 相关研究 |
| §2.2 差分隐私稀疏分类算法 |
| §2.2.1 ADMM算法 |
| §2.2.2 差分隐私稀疏分类算法 |
| §2.3 差分隐私稀疏分类算法的应用 |
| §2.3.1 差分隐私l_1正则化Logistic算法 |
| §2.3.2 差分隐私L_(1/2)正则化Logistic算法 |
| §2.4 实验 |
| §2.4.1 模拟实验 |
| §2.4.2 真实数据 |
| §2.5 本章小结 |
| 第三章 不光滑损失函数的差分隐私SGD算法 |
| §3.1 相关研究 |
| §3.2 基本概念与记号 |
| §3.3 SGD的一致参数稳定性 |
| §3.4 差分隐私SGD算法 |
| §3.4.1 输出扰动隐私SGD算法 |
| §3.4.2 梯度扰动隐私SGD算法 |
| §3.5 本章小结 |
| 第四章 具有隐私保护的非平衡数据学习 |
| §4.1 相关研究 |
| §4.2 基本概念与记号 |
| §4.3 隐私保护AUC-ERM算法 |
| §4.3.1 差分隐私输出扰动AUC-ERM算法 |
| §4.3.2 差分隐私目标函数扰动AUC-ERM算法 |
| §4.4 隐私算法的统计泛化性能 |
| §4.4.1 差分隐私输出扰动AUC-ERM算法泛化性能分析 |
| §4.4.2 差分隐私目标函数扰动AUC-ERM算法泛化性能分析 |
| §4.5 逐点学习差分隐私ERM算法 |
| §4.5.1 逐点学习差分隐私ERM可用性分析 |
| §4.5.2 与已有主要结论的比较 |
| §4.6 实验 |
| §4.6.1 实验设置及数据集 |
| §4.6.2 隐私-可用性均衡 |
| §4.6.3 正则化参数的选择 |
| §4.6.4 最小二乘损失的解析解 |
| §4.7 本章小结 |
| 第五章 分布式隐私保护Logistic回归 |
| §5.1 相关研究 |
| §5.2 分布式Logistic回归 |
| §5.2.1 分布式Logistic模型 |
| §5.2.2 分布式Logistic算法 |
| §5.2.3 分布式Logistic参数估计 |
| §5.3 分布式Logistic隐私保护算法 |
| §5.3.1 分布式Logistic输出扰动算法(DLP) |
| §5.3.2 分布式Logistic变量扰动算法(DLVP) |
| §5.4 实验 |
| §5.4.1 分布式K折交叉验证 |
| §5.4.2 分布式Logistic算法的有效性与高效性 |
| §5.4.3 分布式Logistic隐私保护算法 |
| §5.4.4 实验结果分析 |
| §5.5 本章小结 |
| 第六章 结论和展望 |
| §6.1 结论 |
| §6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的科研成果 |
| 致谢 |
（2）高中数学最值问题的解题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究的背景 |
| 1.1.1 最值问题在高中数学中的重要性 |
| 1.1.2 新课程标准与考试大纲对数学最值的具体要求 |
| 1.1.3 最值问题分类研究解法的必要性 |
| 1.2 核心名词界定 |
| 1.3 研究的内容和意义 |
| 1.3.1 研究的内容 |
| 1.3.2 研究的意义 |
| 1.4 研究的思路 |
| 1.4.1 研究计划 |
| 1.4.2 研究的技术路线 |
| 1.5 本论文的结构 |
| 第2章 文献综述 |
| 2.1 文献搜集的途径 |
| 2.2 国内外研究现状 |
| 2.2.1 高中数学最值问题的研究现状 |
| 2.2.2 其它最值问题的研究现状 |
| 2.3 文献评述 |
| 2.3.1 高中最值问题解题的研究成果 |
| 2.3.2 高中最值问题解题研究的不足之处 |
| 2.3.3 本论文解题研究的思路 |
| 2.4 理论基础 |
| 2.4.1 波利亚解题理论 |
| 2.4.2 模式识别理论 |
| 2.4.3 最近发展区理论 |
| 2.4.4 奥苏贝尔的有意义学习理论 |
| 2.4.5 现代认知迁移理论 |
| 2.4.6 建构主义理论 |
| 2.4.7 数学思想方法 |
| 2.5 小结 |
| 第3章 研究设计 |
| 3.1 研究目的 |
| 3.2 研究方法的选取 |
| 3.3 研究工具的说明 |
| 3.3.1 学生测试卷设计 |
| 3.3.2 教师访谈提纲设计 |
| 3.4 研究的伦理 |
| 第4章 高中生最值问题的学习情况调查 |
| 4.1 调查的目的 |
| 4.2 调查对象 |
| 4.3 学生测试的分析 |
| 4.3.1 学生测试的情况 |
| 4.3.2 学生解题的出错分析 |
| 4.4 学生测试的结果 |
| 4.5 教师访谈 |
| 4.5.1 访谈教师的选取 |
| 4.5.2 个案的资料 |
| 4.5.3 访谈结果与分析 |
| 4.5.4 关于教师访谈的总结 |
| 4.6 小结 |
| 第5章 高中最值问题的分析 |
| 5.1 教学中的最值问题 |
| 5.1.1 高中数学的主要内容 |
| 5.1.2 教材中的最值问题 |
| 5.2 高考中的最值问题 |
| 5.2.1 题型的分值分析与题量统计 |
| 5.2.2 最值试题的考点与数学思想方法分析 |
| 5.3 高中最值问题的主要类型与解法 |
| 5.3.1 函数中的最值问题 |
| 5.3.2 数列中的最值问题 |
| 5.3.3 解析几何中的最值问题 |
| 5.3.4 不等式中的最值问题 |
| 5.4 小结 |
| 第6章 最值相关的教学设计 |
| 6.1 教学设计策略 |
| 6.1.1 概念课的教学设计策略 |
| 6.1.2 习题课的教学设计策略 |
| 6.1.3 复习课的教学设计策略 |
| 6.2 “函数的最大(小)值与导数”概念课的教学设计 |
| 6.3 “函数的最大(小)值与导数”习题课的教学设计 |
| 6.4 “最值的求解”高三复习课的教学设计 |
| 6.5 小结 |
| 第7章 结论与思考 |
| 7.1 研究的主要结论 |
| 7.2 研究反思 |
| 7.2.1 研究的创新之处 |
| 7.2.2 研究的不足与展望 |
| 参考文献 |
| 附录A 最值问题测试卷 |
| 附录B 教师访谈提纲 |
| 攻读学位期间发表的论文和研究成果 |
| 致谢 |
（4）Dirac-调和方程解的性质及其相关算子的范数估计（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 微分形式Dirac-调和方程的研究背景 |
| 1.2 Dirac-调和方程和Hodge-Dirac算子的研究现状 |
| 1.2.1 A-调和方程的发展现状 |
| 1.2.2 Dirac算子和齐次Dirac-调和方程的研究进展 |
| 1.3 本文的内容与结构 |
| 1.4 记号和准备工作 |
| 第2章 齐次Dirac-调和方程解的复合算子范数估计 |
| 2.1 微分形式和域的基本知识 |
| 2.2 齐次Dirac-调和方程解的基本性质 |
| 2.3 复合算子M_s~# o P有界性 |
| 2.3.1 Sharp极大算子和位势算子的定义 |
| 2.3.2 复合算子M_s~# o P的高阶Poincare型不等式 |
| 2.3.3 复合算子M_s~# o P在L~φ-平均域上的有界性 |
| 2.4 复合算子T o D o G的Sobolev嵌入不等式 |
| 2.4.1 同伦算子和Green算子的定义 |
| 2.4.2 复合算子T o D o G的局部L~p可积性 |
| 2.4.3 复合算子T o D o G依Orlicz范数的不等式 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 迭代算子在微分形式中的积分估计 |
| 3.1 迭代算子的高阶可积性 |
| 3.1.1 局部高阶有界性 |
| 3.1.2 局部高阶Sobolev嵌入不等式 |
| 3.1.3 全局高阶可积性 |
| 3.2 迭代算子的范数比较定理 |
| 3.2.1 迭代算子的最简化表示定理 |
| 3.2.2 依BMO范数和局部Lipschitz范数的比较定理 |
| 3.3 应用举例 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 非齐次Dirac-调和方程及其解的基本性质 |
| 4.1 非齐次Dirac-调和方程的定义 |
| 4.2 非齐次Dirac-调和方程解的适定性 |
| 4.2.1 解的基本不等式 |
| 4.2.2 解的收敛性 |
| 4.3 非齐次Dirac-调和方程解的嵌入定理 |
| 4.4 非齐次Dirac-调和方程d~*A(x,Du)=d~*f(x)的可解性 |
| 4.4.1 解的存在唯一性 |
| 4.4.2 本节注释 |
| 4.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（5）单变量凸函数所蕴含的基本不等式（论文提纲范文）
| 1 相关定义与性质 |
| 2 一些基本不等式的凸函数证法 |
四、单变量凸函数所蕴含的基本不等式（论文参考文献）
- [1]基于差分隐私的机器学习算法研究[D]. 王璞玉. 西北大学, 2021(12)
- [2]高中数学最值问题的解题研究[D]. 徐珊威. 云南师范大学, 2020(01)
- [3]漫谈多元函数最值问题的求解策略[J]. 刘奕辰,郭建华. 中学数学研究, 2018(02)
- [4]Dirac-调和方程解的性质及其相关算子的范数估计[D]. 石冠男. 哈尔滨工业大学, 2017(12)
- [5]单变量凸函数所蕴含的基本不等式[J]. 刘鹏惠. 四川工业学院学报, 2001(04)